Le problème des chapeaux

En arrivant,  \(n\) personnes laissent leur chapeau à un vestiaire. En repartant, chaque personne reprend un chapeau au hasard.
On note  \(1,2,...,n\) les personnes et on considère les variables aléatoires \(X_i\) , avec \(1\leqslant i\leqslant n\) , définies par : 
\(X_{i}=\begin{cases}1 & \text{si la personne} \,i\, \text{retrouve son chapeau}\\0 & \text{sinon}\end{cases}\)

1. Soit \(X=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}\) . Que représente \(X\)  ?

2. Soit \(i\)  un entier tel que \(1\leqslant i\leqslant n\) .
    a. Montrer que \(P\left(X_{i}=1\right)=\dfrac{1}{n}\) .
    b. Quelle est la loi suivie par \(X_i\)  ?

3. Calculer \(E(X)\)  et interpréter.